Badanie mechaniki geometrycznej

Mechanika Hamiltona i mechanika Lagrange'a to dwie koncepcje stanowiące przeformułowanie mechaniki klasycznej. Są one zarówno eleganckie, jak i ogólne w tym znaczeniu, że stanowią ujednolicone ramy pozwalające opisywać pozornie odmienne układy fizyczne, od klasycznych cząstek i brył sztywnych po teorie pola i systemy kwantowe. Od połowy ubiegłego wieku mechanika klasyczna i klasyczne teorie pola ewoluują wraz z dynamicznie rozwijającymi się dziedzinami matematyki, takimi jak geometria różniczkowa czy teoria grup Liego.

Finansowany ze środków UE projekt "Geometric mechanics" (GEOMECH) było połączenie wysiłków naukowców zajmujących się "geometryzacją" teorii fizycznych. Zastosowali oni narzędzia i język współczesnej mechaniki geometrycznej do zbadania, między innymi, układów mechanicznych posiadających obracające się koła bez ślizgania oraz określonych rodzajów styku ślizgowego. Układy te są przykładami tzw. układów nieholonomicznych. W przeciwieństwie do klasycznych układów Lagrange'a czy Hamiltona, te bardziej ogólne układy podlegają ograniczeniom w zakresie prędkości i dość często przejawiają właściwości sprzeczne z intuicją. W ramach projektu GEOMECH matematycy z siedmiu krajów dzielili się wiedzą na temat tych układów nieholonomicznych oraz badali ich zachowania. Badano także dyskretyzację układów mechanicznych typu nieholonomicznego oraz konstrukcję całek numerycznych dla nich.

Uczestnicy projektu GEOMECH zajmowali się także zjawiskiem symetrii w mechanice i teorii pola. Symetrie są reprezentowane matematycznie przez działania na grupach Liego i mogą służyć do zmniejszenia liczby stopni swobody układu, na który działają, poprzez zgrupowanie równoważnych stanów oraz wykorzystanie występowania wielkości zachowawczych.

Do ram klasycznej teorii pola wprowadzono zasadę wariacyjną, nazywaną zasadą Hamiltona-Pontriagina. Uczestnicy projektu GEOMECH wykazali, że uzyskane w ten sposób równania pola można opisać poprzez rozszerzenie koncepcji struktury Diraca.

Poczyniono także postępy w badaniach nad układami mechanicznymi zależnymi od czasu, które opisano jako szczególny przypadek teorii pola, a także nad analizą geometrii różniczkowej równań różniczkowych drugiego rzędu, uwzględniającą odwrócony problem rachunku wariacji. Ten ostatni dotyczy zadania polegającego na ustaleniu, czy dany układ równań różniczkowych jest równoważny układowi Lagrange'a.

Aktywna współpraca między partnerami GEOMECH zaowocowała powstaniem ponad 80 artykułów opublikowanych w czasopismach naukowych oraz w serwisie arXiv. Wykorzystanie badań prowadzonych przez fizyków pozwoliło na zaproponowanie nowych koncepcji wspierających badania matematyczne. Badacze mają nadzieję, że ich prace będą miały wpływ na przyszłość mechaniki geometrycznej w Europie.